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コンピュータと数学について

最近諸々読んでいる本の各分野における地図をまとめてみた。(要は今の僕の脳内地図)
# 書いていたら長くなったので、3つくらいの記事に分けることにした。
この記事自体はあまり新規の情報は無く、旅行で言うと世界地図を広げて、世界にはどんな大陸があり、日本はユーラシア大陸の一番東にあり・・・と言う程度の粒度の話である。
よってあの都市ではどんな料理が美味しかったとか、ここではこんなものが役立ったとかその手の話は無い。
また実際には以下に書かれている本を全て読んでいるわけではなく、現在読み途中のものもあれば、全く読んでいないものもある。(ゆっくり読む機会があればよいのだが。)
僕自身は数学はそれほど専門性が無いので、不足している点や、間違いがあったら指摘して欲しい。

物理科であれば、代数(線形代数)・解析(多重積分・偏微分・常微分方程式・偏微分方程式)・幾何は、大学でもそこそこ勉強しているだろうが、金融工学や数値シュミレーションに進んだ人などはさておき、社会人になってこれらが役に立つことはあまりない。

数理論理
そこで論理学を中心に、数理論議学・一階述語論理(二階述語論理や高階述語論理はほどほどに)、ゲーデルの不完全性定理(これは数学ガール3巻参照)を学んだ後、圏論やプログラム意味論を読んでから、HaskellやProlog、Coqを学べば、コンピュータとは何かや、普段コーディングしている際の意味についての理解も多少深まるのではないかと考えた。(HaskellやPrologは「7つの言語、7つの世界」にも簡単な解説が書かれている。)

まずは以下の順に資料を読んで(場合によっては眺めて)いった。 

これらの本を通して計算機とは何なのか何となく見えてくる。(個人的には「数理論理学 講義ノート」「数学ガール3巻 ゲーデルの不完全性定理」「計算モデルと論理とゲーデルの不完全性定理」を読めば普通の人には十分と思う。)
形式的体系やゲーデル数などは、コンピュータ(チューリング・マシン)の考えの根本である。

群論
次に群論である。(これもまずは数学ガール2,5巻参照)をまず学んでから専門書(物理科出身の人の場合は、ジョージァイの物理学におけるリー代数―アイソスピンから統一理論へが比較的分かりやすいと思った)を学ぶことにより、数学の一大分野を学べ、他の数学の分野の理解にも役立つと思われる。
個人的にはジョージアイを急いで読みきりたいが、まだまだ初めの方で全然読めてはいない。

位相幾何
最後位相幾何を学べば少なくともコンピュータに必要な基礎的なところは抑えられるだろう。位相幾何は、トポロジーとも呼ばれ連続的に変化する幾何の学問であり、コンピュータではネットワークの経路(ルーティングの際に用いられる)などの応用がある。

また以上の分野をバランス良く一冊にまとめているのが、数学:パターンの科学―宇宙・生命・心の秩序の探求である。

以上6分野を勉強すれば基礎の基礎だけれど、数学についてはコンピュータを理解するのに十分かと思う。あとは細かく知りたい部分は個別に勉強すれば、それなりに体系的に知識を増やしていけるのでは無いだろうか。
# あと統計もあるけど、それは機会学習も含めてまたの機会に。

ちなみに僕は数理論理は表面的には理解出来たが細かな部分はまだまだ、群論が20%、位相幾何は少し唾を付けたくらい。
ゆっくり勉強していこうと思う。

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このページは、quantyが2014年4月14日 21:05に書いたブログ記事です。

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